蛇口の吐水口からちょろちょろと水が漏れて止まらない。
そんな水漏れの原因は、いくつかありますが、今回のケースでは、中の部品であるカートリッジに問題がありました。
カートリッジに原因がある時は、蛇口の中のカートリッジを交換すれば水漏れは直ります。
ただし、これは10年以内の蛇口であれば、です。

お使いの環境にもよりますが、レバー式の蛇口本体の寿命は約10年といわれています。
それ以上古いものになると、部品が手に入りづらかったり、時間や手間がかかってしまいます。
また、古いものは、一度直しても違う箇所からまた水漏れを起こす可能性があるため、交換されることをおすすめします。